Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik sammanfattar ett observerat datamaterials läge, spridning och fördelningsform med mått som medelvärde, median, kvartiler och standardavvikelse samt med tabeller och diagram. Valet av mått måste styras av variabelns skalnivå, fördelning, extremvärden, bortfall och den kliniska frågeställningen. En korrekt sammanfattning börjar därför med datakontroll och slutar inte vid ett enskilt centralmått.

Definition, syfte och avgränsning

Deskriptiv statistik omfattar numeriska, tabellariska och grafiska metoder för att ordna och sammanfatta observerade data. Numeriska sammanfattningar beskriver exempelvis antal, andelar, centralt läge, spridning och fördelningsform. Frekvenstabeller visar hur observationerna fördelas mellan kategorier eller intervall, medan diagram kan synliggöra skevhet, kluster, extremvärden och möjliga datakvalitetsproblem.

Beskrivningen gäller i första hand det analyserade materialet. Om 40 av 100 inkluderade patienter har hypertoni är den observerade andelen 40 %, oavsett om patienterna är representativa för sjukhusets upptagningsområde. På motsvarande sätt är materialets medelålder ett exakt deskriptivt mått för de individer vars ålder ingår i beräkningen. Stickprovsurval, bortfall och mätfel avgör däremot om resultatet ger en rättvisande bild av en större målpopulation.

Inferentiell statistik använder sannolikhetsmodeller för att generalisera från stickprov till population och kvantifierar osäkerhet med exempelvis standardfel, konfidensintervall och hypotesprövning. Ett deskriptivt medelvärde, en gruppskillnad eller en korrelation visar därför inte i sig statistisk signifikans. Inte heller etablerar sammanfattningen kausalitet, representativitet eller klinisk betydelse. En skillnad kan vara numeriskt liten men kliniskt viktig, eller statistiskt säkerställd men kliniskt trivial.

Datamaterial, observationsenhet och variabeltyper

Observationsenheten är den enhet som varje rad eller datapost avser, exempelvis patient, vårdtillfälle, prov, öga eller knä. Populationen är den mängd enheter som frågeställningen gäller, medan stickprovet är de enheter som faktiskt observerats. En variabel är en egenskap som registreras, såsom ålder eller blodgrupp, och ett mätvärde är variabelns registrerade värde för en viss observationsenhet.

Skalnivån avgör vilka matematiska operationer som är meningsfulla:

Numeriska variabler kan dessutom vara diskreta, exempelvis antal exacerbationer, eller kontinuerliga, exempelvis kroppslängd eller plasmakoncentration. I praktiska register är även kontinuerliga egenskaper diskret registrerade genom instrumentets upplösning och avrundning. Antal decimaler i databasen anger därför inte automatiskt variabelns biologiska precision.

Kategoriska data sammanfattas normalt med antal och andelar. Ordinaldata kan beskrivas med median och kvartiler eftersom rangordningen är informativ, men ett aritmetiskt medelvärde för kodvärden som 1, 2 och 3 förutsätter avstånd som kanske inte finns. För kvantitativa data är medelvärde och standardavvikelse informativa när fördelningen är någorlunda symmetrisk och inte domineras av extremvärden; annars är median och interkvartilavstånd ofta mer representativa.

Datakontroll före sammanfattning

Analysen bör inledas med att antalet rader, unika individer och registrerade värden jämförs. Dubbletter kan uppstå genom sammanslagning av register eller upprepad import. Samtidigt är två rader för samma person inte nödvändigtvis dubbletter: de kan avse olika tidpunkter, vårdtillfällen eller organ. Det måste därför fastställas om analysenheten är individ, mätning eller episod.

Därefter granskas kodning, enheter och värdeområden. Kroppsvikt registrerad i gram i en datakälla och kilogram i en annan kan skapa extrema men formellt numeriska värden. Omöjliga datum, negativ ålder, saturation över 100 %, inkonsekventa kategorikoder och decimalförskjutningar bör identifieras mot datadokumentation. Avrundning kan ge ansamling vid vissa värden, medan värden under eller över en analysmetods detektionsgräns inte bör ersättas mekaniskt med noll.

Saknade data ska redovisas per variabel och helst med orsak. En tom cell kan betyda ej mätt, ej tillämpligt, borttappat prov eller tekniskt misslyckande; dessa mekanismer har olika konsekvenser. Om kreatinin endast analyseras hos kliniskt sjukare patienter beskriver medelvärdet bland analyserade patienter inte samtliga inkluderade. En variabelspecifik nämnare är därför ofta nödvändig.

Felaktiga nämnare kan kraftigt ändra andelar. Om 20 av 80 personer som besvarat en fråga röker är andelen bland svarande 25 %, inte 20 % av 100 rekryterade utan särskild motivering. Om patienter med kort uppföljning bidrar med färre mätningar kan ett medelvärde över alla mättillfällen dessutom vikta patienter med täta kontroller mer än patienter med få kontroller. Deskriptiva resultat bör därför alltid knytas till en tydligt definierad analyspopulation.

Frekvenser, proportioner, kvoter och frekvenstabeller

Absolut frekvens är antalet observationer i en kategori. Relativ frekvens är antalet dividerat med relevant totalantal, och procent är den relativa frekvensen multiplicerad med 100. En proportion har täljaren som en delmängd av nämnaren, exempelvis 30 infekterade av 200 undersökta, vilket motsvarar 0,15 eller 15 %. En kvot kan däremot jämföra åtskilda grupper, exempelvis 30 kvinnor med ett tillstånd per 20 män, det vill säga kvoten 1,5.

Kumulativ frekvens erhålls genom att summera frekvenser upp till och med en ordnad kategori eller ett värde. Den är meningsfull för ordinala och numeriska variabler, exempelvis andelen patienter med NYHA-klass högst II eller ålder högst 65 år. Kumulering saknar däremot naturlig innebörd för nominala kategorier som blodgrupp, eftersom ordningen är godtycklig.

I en korstabell måste riktningen för procentberäkningen anges. Radprocent beskriver fördelningen över kolumner inom varje rad, medan kolumnprocent beskriver fördelningen över rader inom varje kolumn.

Här är händelseandelen 10/100 = 10 % i grupp A och 20/100 = 20 % i grupp B. Kolumnprocent bland de 30 händelserna skulle i stället vara 33,3 % för A och 66,7 % för B och besvarar en annan fråga.

Kategorier ska vara uttömmande och ömsesidigt uteslutande om summan ska motsvara totalantalet. Kontinuerliga data kan grupperas i intervall, men då går information förlorad: två patienter med värden nära var sin sida om en klassgräns hamnar i olika grupper, medan mycket olika värden inom samma intervall behandlas som lika. Klassgränser och öppna eller slutna intervall måste därför anges entydigt.

Aritmetiskt och viktat medelvärde

För värden (x_1,\ldots,x_n) definieras stickprovsmedelvärdet som

[ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i. ]

Medelvärdet använder samtliga observationers storlek. Om varje värde ökas med 5 ökar medelvärdet med 5, och om varje värde multipliceras med 2 fördubblas medelvärdet. Avvikelserna balanserar exakt kring centrum:

[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0. ]

Medelvärdet är också det värde som minimerar summan av kvadrerade avvikelser (\sum(x_i-a)^2). Den egenskapen ligger bakom varians, minsta-kvadratmetoder och många statistiska modeller. Kvadreringen gör samtidigt både medelvärdesbaserade spridningsmått och modeller känsliga för stora avvikelser.

Ett viktat medelvärde beräknas som

[ \bar{x}_w=\frac{\sum_i w_ix_i}{\sum_i w_i}. ]

Vikterna kan representera frekvenser, urvalsvikter eller olika informationsmängd. Om gruppmedel kombineras måste gruppstorlekarna användas som vikter. Medelvärdet av två klinikers medelvärden ger bara det gemensamma patientmedelvärdet om klinikerna har lika många patienter; annars överrepresenteras den mindre kliniken.

Ett enda extremvärde kan flytta medelvärdet kraftigt, och i en högerskev fördelning ligger medelvärdet ofta över medianen. Medelvärde bör inte sammanblandas med standardfel eller konfidensintervall. (\bar{x}) beskriver materialets centrum, SD beskriver observationernas spridning och SE beskriver hur precist medelvärdet skattar ett populationsmedelvärde.

Geometriskt och harmoniskt medelvärde

Det geometriska medelvärdet för strikt positiva värden definieras som

[ G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n} =\exp\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)\right]. ]

Det motsvarar alltså exponenten av medelvärdet på logaritmisk skala. Måttet är relevant när variationen är multiplikativ, exempelvis för koncentrationer med ungefär lognormal fördelning, relativa tillväxtfaktorer och upprepade procentuella förändringar. Vid sammanfattning av logtransformerade laboratorievärden motsvarar det geometriska medelvärdet medianen i en ideal lognormalfördelning.

För tillväxtfaktorer används produkten, inte det aritmetiska medelvärdet. En ökning med faktorn 2 följd av en minskning med faktorn 0,5 ger total faktor 1 och geometriskt medelvärde 1 per period. Det aritmetiska medelvärdet av faktorerna blir 1,25 och skulle felaktigt antyda genomsnittlig tillväxt.

Det harmoniska medelvärdet är

[ H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}. ]

Det används främst för hastigheter eller andra kvoter när samma mängd finns i täljaren. För lika långa sträckor som färdas med olika hastighet ska hastigheterna harmoniskt, inte aritmetiskt, medelvärdesbildas. En viktad variant är (H_w=\sum w_i/\sum(w_i/x_i)).

För positiva värden gäller (H\leq G\leq\bar{x}), med likhet när alla värden är identiska. Noll gör geometriskt medelvärde noll och harmoniskt medelvärde odefinierat; negativa värden gör vanlig logaritmering olämplig. Att godtyckligt lägga till en konstant förändrar tolkningen och ska inte användas utan tydlig metodologisk motivering.

Median, typvärde och andra robusta lägesmått

Medianen bestäms efter sortering. Vid udda (n) är medianen värdet på position ((n+1)/2). Vid jämnt (n) används vanligen medelvärdet av värdena på positionerna (n/2) och (n/2+1). Minst hälften av observationerna ligger då på eller under medianen och minst hälften på eller över den.

Medianen beror huvudsakligen på rangordningen och är därför robust mot extremvärden. Dess breakdown point är 50 %: nära hälften av observationerna måste påverkas för att medianen ska kunna förskjutas godtyckligt. Medelvärdet har däremot i praktiken breakdown point nära noll, eftersom ett enda tillräckligt stort eller litet värde kan flytta det obegränsat.

Typvärdet är det vanligast förekommande värdet eller den vanligaste kategorin. Det kan användas även för nominaldata. En fördelning är unimodal med ett typvärde, bimodal med två tydliga typvärden och multimodal med flera. För kontinuerliga data påverkas ett histogram-baserat typvärde av klassindelningen, och vid många unika mätvärden kan typvärdet vara instabilt eller sakna praktisk mening.

Ett trimmat medelvärde beräknas efter att en bestämd andel av de lägsta och högsta värdena tagits bort symmetriskt. Det ger en kompromiss mellan medelvärdets effektivitet vid symmetriska data och medianens robusthet, men trimningsgraden måste anges i förväg. När fördelningen är skev eller kliniskt heterogen är det ofta informativt att rapportera både medelvärde och median; en tydlig skillnad mellan dem signalerar asymmetri men bevisar inte dess orsak.

Percentiler, kvartiler och femtalssammanfattning

Den (p):te percentilen är ett värde som placerar ungefär (p) procent av observationerna på eller under sig. Q1, medianen och Q3 motsvarar den 25:e, 50:e respektive 75:e percentilen. De beskriver positioner i den empiriska fördelningen snarare än avstånd från ett antaget centrum.

Femtalssammanfattningen består av:

I små material är percentiler inte entydigt definierade. Statistikprogram använder olika rangformler och interpolerar på olika sätt mellan närliggande observationer. Två program kan därför ge något olika Q1 och Q3 utan att något resultat är ett räknefel. Metod eller programvara bör anges när exakta kvartilvärden har analytisk betydelse.

Percentiler används kliniskt i exempelvis tillväxtkurvor, där ett barns mått jämförs med en referenspopulation. En populationspercentil är dock inte automatiskt en diagnostisk gräns. Den säger var observationen ligger relativt referensfördelningen, inte om sjukdom föreligger. På samma sätt ska percentilgränser inte utan vidare likställas med laboratoriers referensintervall, vilka dessutom påverkas av referenspopulation, analysmetod och kliniskt beslutsändamål.

Variationsbredd, interkvartilavstånd och robust spridning

Variationsbredden är

[ R=\max(x_i)-\min(x_i). ]

Den visar hela det observerade spannet men bestäms enbart av två observationer. Måttet är mycket känsligt för extremvärden och tenderar dessutom att öka när stickprovet blir större, eftersom sannolikheten att observera mer extrema värden då ökar.

Interkvartilavståndet definieras som

[ IQR=Q3-Q1 ]

och omfattar spridningen i materialets mellersta 50 %. Det påverkas betydligt mindre av extrema svansvärden än variationsbredd och SD. IQR bör vanligen rapporteras tillsammans med medianen, exempelvis median [Q1–Q3], eftersom båda bygger på rangordning.

Medianabsolutavvikelsen är

[ MAD=\operatorname{median}\left(|x_i-\operatorname{median}(x)|\right). ]

För att få ett robust spridningsmått som är jämförbart med SD vid normalfördelade data används ofta (1{,}4826\times MAD). Oskalad och skalad MAD ska inte blandas samman i rapporteringen.

Minimum och maximum är faktiska observerade värden och kan vara kliniskt mycket informativa. De ska inte automatiskt betecknas som avvikare eller exkluderas. Ett extremt kaliumvärde kan vara ett analysfel, en enhetsmiss eller ett biologiskt korrekt och kliniskt avgörande fynd; klassificeringen kräver granskning av mätprocess och kliniskt sammanhang.

Varians, standardavvikelse och variationskoefficient

För en fullständig population med (N) observationer och medelvärde (\mu) är populationsvariansen

[ \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2. ]

Kvadreringen förhindrar att positiva och negativa avvikelser tar ut varandra och ger större vikt åt långt avvikande värden. Variansen uttrycks i variabelns kvadrerade enhet och är därför mindre direkt kliniskt tolkningsbar.

För ett stickprov används vanligen

[ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2. ]

När (\bar{x}) skattats ur samma data finns endast (n-1) fria avvikelser, eftersom deras summa måste vara noll. Division med (n-1), Bessels korrektion, kompenserar för att avvikelser kring stickprovsmedelvärdet annars systematiskt underskattar populationsvariansen.

Standardavvikelsen är (s=\sqrt{s^2}) och återför spridningen till ursprungsenheten. SD beskriver variationen mellan observationer och minskar inte automatiskt när fler personer inkluderas. Standardfelet för medelvärdet,

[ SE(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}, ]

beskriver i stället medelvärdets stickprovsosäkerhet och blir vanligen mindre när (n) ökar. Att redovisa medelvärde ± SE som om intervallet beskrev enskilda patienter ger därför en alltför smal bild av individspridningen.

Variationskoefficienten är

[ CV=\frac{s}{\bar{x}}, ]

ibland uttryckt i procent. Den beskriver relativ spridning och kan jämföra mätserier med olika medelnivåer. CV är meningsfull för kvotskalor med sann nollpunkt, positivt medelvärde och ungefär konstant relativ variation. Den är olämplig för exempelvis temperatur i °C och blir instabil när medelvärdet ligger nära noll.

Fördelningens form, normalfördelning och extremvärden

En fördelning kan vara symmetrisk eller skev, uni- eller multimodal och ha tydliga golv- eller takeffekter. Vid högerskevhet sträcker sig den långa svansen mot höga värden och medelvärdet ligger ofta över medianen. Vid vänsterskevhet går svansen mot låga värden. Golv- och takeffekter uppstår när mätinstrumentet eller skalan inte kan registrera variation under respektive över en gräns.

Momentbaserad skevhet bygger på den standardiserade tredje centrala momentet. Positiva värden anger högerskevhet, negativa värden vänsterskevhet och en symmetrisk normalfördelning har skevhet 0. Skattningen är känslig för extremvärden och osäker i små stickprov; histogram, punktdiagram och kvartiler bör därför granskas parallellt.

Kurtosis bygger på den standardiserade fjärde centrala momentet. Normalfördelningens kurtosis är 3, men excesskurtosis definieras efter subtraktion av 3 och är således 0 för normalfördelningen. Hög excesskurtosis bör framför allt tolkas som större benägenhet till tunga svansar och extrema observationer, inte enbart som att fördelningens centrala topp är spetsig.

För en ideal normalfördelning ligger ungefär 68 % av värdena inom (\mu\pm1\sigma), 95 % inom (\mu\pm2\sigma) och 99,7 % inom (\mu\pm3\sigma). Regeln gäller inte generellt för skeva, multimodala eller tungsvansade data. Att ett värde ligger mer än två eller tre SD från medelvärdet gör det därför inte automatiskt felaktigt.

Extremvärden kan bero på registreringsfel, fel enhet, laboratorieinterferens, sällsynt men korrekt biologisk variation eller en separat subpopulation. De kan också avslöja oväntad sjukdom eller behandlingskomplikation. Exklusion ska baseras på fördefinierade kvalitetskriterier eller dokumenterat fel, inte på att värdet påverkar det önskade resultatet. Känslighetsanalyser med och utan ifrågasatta värden kan visa hur slutsatsen påverkas.

Grafisk presentation av univariata data

Ett histogram delar numeriska värden i sammanhängande intervall och visar antal, andel eller densitet i varje intervall. Staplarna ligger intill varandra eftersom intervallen representerar en numerisk skala. I ett stapeldiagram representerar staplarna däremot separata kategorier, ordningen kan ofta ändras och mellanrum mellan staplarna är naturliga.

Klassbredden styr detaljnivån. Smala klasser kan framhäva slumpmässigt brus och skapa skenbara toppar, medan breda klasser kan dölja skevhet eller flera subpopulationer. Sturges regel,

[ k\approx1+\log_2(n), ]

ger ett möjligt antal klasser men är endast en tumregel och kan vara otillräcklig vid stora eller starkt skeva material. Flera klassindelningar bör vid behov jämföras.

En densitetskurva ger en utjämnad bild av fördelningen men påverkas av vald utjämningsparameter. Punktdiagram visar varje observation och är särskilt värdefulla i små material. Stam-blad-diagram bevarar de exakta värdena samtidigt som fördelningsformen framträder. Den empiriska kumulativa fördelningen visar för varje värde andelen observationer som är mindre än eller lika med värdet och kräver ingen klassindelning.

Lådagrammet visar en box från Q1 till Q3 och en linje vid medianen. En vanlig konvention låter whiskers gå till de yttersta observationerna inom gränserna

[ Q1-1{,}5\times IQR \quad\text{och}\quad Q3+1{,}5\times IQR. ]

Observationer utanför ritas separat. Dessa punkter är statistiskt flaggade som avlägsna från mitten, men är inte automatiskt mätfel. Lådagram bör gärna kompletteras med rådatapunkter, särskilt när grupperna är små eller multimodala.

Deskriptiv analys av samband och grupper

Två kategoriska variabler beskrivs med korstabeller och villkorliga proportioner. Marginalfrekvenser visar totalsummorna för respektive variabel, medan cellfrekvenser visar kombinationerna. Valet mellan rad- och kolumnprocent ska följa frågan: risk för utfall inom exponeringsgrupp kräver andel med utfall bland samtliga i respektive exponeringsgrupp.

För två kvantitativa variabler är spridningsdiagrammet den primära deskriptiva metoden. Det visar riktning, linearitet, kluster, heteroskedasticitet och avvikande observationer. Kovariansen är

[ \operatorname{Cov}(X,Y)= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}). ]

Positiv kovarians innebär att höga respektive låga värden tenderar att förekomma tillsammans, men storleken beror på variablernas enheter.

Pearsons korrelationskoefficient standardiserar kovariansen:

[ r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_xs_y}, \qquad -1\leq r\leq1. ]

Den sammanfattar styrka och riktning hos ett linjärt samband. Ett (r) nära 0 utesluter inte ett starkt icke-linjärt samband, och ett högt (|r|) innebär varken kausalitet eller överensstämmelse mellan två mätmetoder. En enda inflytelserik observation kan skapa eller dölja korrelation.

Spearmans rangkorrelation är Pearsons korrelation beräknad på rangordnade värden och beskriver monotona samband. Den är användbar för ordinaldata och när relationen är monotont böjd eller känslig för extrema mätvärden. Den löser dock inte problem med confounding, klustring eller beroende observationer.

Sammanfattningar bör ofta stratifieras efter exempelvis ålder, kön, klinik eller behandlingsgrupp. Ett aggregerat samband kan ändra riktning efter stratifiering, vilket kallas Simpsons paradox, när gruppernas storlek och bakomliggande risk skiljer sig. Ett övergripande medelvärde eller en korrelation kan därmed dölja kliniskt viktiga subgrupper eller huvudsakligen spegla gruppsammansättningen.

Rapportering i kliniska studier och vanliga feltolkningar

En deskriptiv rapport bör först ange analyspopulation, totalt (n), gruppstorlekar och bortfall. För varje variabel anges enhet och antal tillgängliga observationer om detta avviker från totalantalet. Kategoriska data redovisas som antal och procent, inte enbart procent. Vid upprepade mätningar ska tidpunkt, antal individer vid varje tidpunkt och hantering av flera mätningar per individ framgå.

En praktisk huvudregel är:

Medelvärde ± SE ska inte användas som ersättning för medelvärde ± SD när syftet är att beskriva patienternas variation. SE blir litet i stora material även om individerna varierar kraftigt. Om inferentiell precision ska visas är ett konfidensintervall för medelvärdet tydligare än ett ospecificerat ”±”-värde.

Normalitet bör inte avgöras enbart med ett signifikanstest. I små stickprov har sådana test låg förmåga att upptäcka relevanta avvikelser, medan triviala avvikelser kan bli statistiskt signifikanta i mycket stora material. Fördelningsdiagram, rådata, skevhet, extremvärden och analysens känslighet för antagandet bör vägas samman.

P-värden för baslinjeskillnader i randomiserade studier är vanligen olämpliga: observerade skillnader har uppkommit efter randomisering och klinisk obalans bedöms bättre utifrån storlek och relevans. Stapeldiagram över gruppmedel utan rådata eller spridningsmått kan dölja skevhet, överlappning och avvikare. Trunkerade axlar kan visuellt överdriva små skillnader, särskilt i stapeldiagram där stapellängden tolkas relativt noll.

Decimalprecisionen ska motsvara mätningens och sammanfattningens informationsinnehåll. Ett medelvärde med flera decimaler är inte mer exakt än ingående mätningar eller urvalet medger. Slutligen ska statistisk spridning skiljas från analytisk mätosäkerhet, intraindividuell biologisk variation och verklig variation mellan individer. Observerad SD kan innehålla samtliga dessa komponenter och avslöjar inte utan särskild studiedesign hur stor varje komponent är.

Källor

• Descriptive statistics
• Category:Descriptive statistics
• Descriptive statistics
• Bild: File:Origin histogram raw data.png — Abrito1953, CC BY-SA 3.0